3.4 · 二的補碼

目標： 把任意整數轉成 n 位二的補碼形式，再轉回去。

負數的問題

二進制只有 0 與 1 —— 沒有 − 號。電腦怎麼儲存負整數？

歷史上有三種方案：

方案	思想	缺點
Sign-magnitude 符號-絕對值	最左位作符號（0 = +，1 = −），其餘是絕對值	有兩個零（+0、−0）；減法尷尬
One's complement 一的補碼	全部位反轉表示負	仍有兩個零；進位處理亂
Two's complement 二的補碼	全部反轉，再加 1	單一零；加減統一處理

現代電腦全部用二的補碼表示有符號整數。HKEAA 明確要求你掌握。

怎麼編碼一個負整數

3 步配方

要在 n 位二的補碼錶示 −x：

1. 把 +x 寫成 n 位二進制。
2. 每位反轉（一的補碼）。
3. 加 1。

例 · 8 位下的 −5

步驟	過程
1. 寫 +5	0000 0101
2. 反轉	1111 1010
3. 加 1	1111 1011

所以 −5 = 1111 1011₂ 在 8 位二的補碼中。

例 · 8 位下的 −1

步驟	過程
1. 寫 +1	0000 0001
2. 反轉	1111 1110
3. 加 1	1111 1111

−1 就是全 1。（任何位數皆如此。）

例 · 8 位下的 −128

步驟	過程
1. 寫 +128	1000 0000（已是負數解讀，但位模式相同）
2. 反轉	0111 1111
3. 加 1	1000 0000

位模式 1000 0000 在二的補碼中表示 −128 —— 8 位有符號最小值。

怎麼解碼二的補碼數字

如果 MSB 為 0 → 是正數；按普通二進制讀。

如果 MSB 為 1 → 是負數。兩種換算：

方法 1 · 套同樣的配方（對稱！）

1111 1011₂ → 反轉 → 0000 0100 → +1 → 0000 0101 = 5 → 所以原值為 −5。

方法 2 · 用負的 MSB 位值

對 n 位二的補碼，MSB 的位值是 −2ⁿ⁻¹ 而不是 +2ⁿ⁻¹。

8 位時：

位	−128	64	32	16	8	4	2	1
位元	1	1	1	1	1	0	1	1

值 = −128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = −5。✓

n 位二的補碼範圍

位數	範圍
4	−8 到 +7
8	−128 到 +127
16	−32,768 到 +32,767
32	−2,147,483,648 到 +2,147,483,647

公式：n 位時，範圍為 −2ⁿ⁻¹ 到 +2ⁿ⁻¹ − 1。

注意不對稱：負值比正值多一個，因為 0 住在正的一側（0000 0000）。

二的補碼為何精彩

零隻有一種表示

符號-絕對值有 +0 和 −0。二的補碼只有 0000 0000 = 0。

減法即加法

A − B = A + (B 的二的補碼)。

同一套電路加正數和負數 —— 不用單獨減法器。

符號擴展自然成立

把 8 位有符號數複製到 16 位寄存器，只要把 MSB 複製到新增的上位即可：

8 位  −5 = 1111 1011
16 位 −5 = 1111 1111 1111 1011

實例

例 A · 4 位二的補碼下算 7 − 3

+7 = 0111+3 = 0011，所以 −3 = 0011 → 1100 → 1101。

相加：0111 + 1101 = 1 0100。丟棄 MSB 進位 → 0100 = +4。✓

例 B · 8 位二的補碼下算 5 − 9

+5 = 0000 0101−9 = 0000 1001 → 1111 0110 → 1111 0111

相加：0000 0101 + 1111 0111 = 1111 1100 = −4。✓

學生常見錯誤

• 忘了第 3 步（加 1） —— 這就是一的補碼與二的補碼的差別。
• 把 MSB = 1 當作永遠是負 —— 僅在二的補碼下成立；無符號二進制裏 MSB 只是普通位。
• 範圍不對稱 bug：試圖用 8 位有符號表示 +128（超界）。
• 混寬度 —— 比較 4 位有符號 1011 與 8 位有符號 1011 會得到不同值。

練習活動

在 8 位二的補碼下求：

1. −1 的位模式。
2. −42 的位模式。
3. 1110 0000 的十進制值。
4. 1000 0000 的十進制值。
5. 可表示值的範圍。

答案

1. 1111 1111
2. 1101 0110（+42 = 0010 1010 → 反轉 1101 0101 → +1 → 1101 0110）
3. −32
4. −128
5. −128 到 +127

考試式題目

題（4 分）： 用 8 位二的補碼把 −45₁₀ 表為二進制，寫出過程。

參考答案：

步驟	過程
1. 寫 +45 為 8 位二進制	0010 1101
2. 每位反轉	1101 0010
3. 加 1	1101 0011

−45₁₀ = 1101 0011₂ 在 8 位二的補碼中。

關鍵要點

• 二的補碼 = 全部反轉，再加 1。
• 二的補碼數字的 MSB 位值是 −2ⁿ⁻¹。
• 零隻有一種表示。
• 加減法共用硬件。
• 範圍：−2ⁿ⁻¹ 到 +2ⁿ⁻¹ − 1。

➡️ 下一節：3.5 字符編碼