3.3 · 二進制運算與溢出
目標： 正確做二進制加減，並在 n 位儲存中檢測溢出。
二進制加法規則
跟十進制一樣，只是僅有 0 和 1：
| A | B | 和 | 進位 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
有趣的是 1 + 1 = 10₂ —— 寫 0，進 1。跟十進制的 5 + 5 = 10 一樣。
例 · 5 + 6（4 位）
進位: 1 1 1
0 1 0 1 (5)
+ 0 1 1 0 (6)
─────────
1 0 1 1 (11)2
3
4
5
結果：1011₂ = 11₁₀。✓
例 · 9 + 7（4 位） —— 溢出！
進位: 1 1 1 1
1 0 0 1 (9)
+ 0 1 1 1 (7)
─────────
1 0 0 0 0 (16，但 5 位)2
3
4
5
4 位裏結果為 0000 加一個進位輸出。該進位就是溢出標誌 —— 見下。
二進制減法
兩種常用方法：
方法 1 · 借位（學校式）
| A | B | 差 | 借 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
1 0 0 1 (9)
− 0 1 0 1 (5)
─────────
0 1 0 0 (4) ✓2
3
4
方法 2 · 加二的補碼
這就是真 CPU 乾的事（見 3.4 二的補碼）。把減數轉成負的形式，然後相加。
A − B = A + (−B)。
什麼是溢出？
溢出發生在算術結果裝不下可用位數時。
對無符號 n 位數，最大可表示值是 2ⁿ − 1。超過就讓結果按 2ⁿ 取模環繞。
| 位數 | 無符號最大值 |
|---|---|
| 4 | 15 |
| 8 | 255 |
| 16 | 65,535 |
| 32 | 4,294,967,295 |
檢測溢出
無符號加法規則
如果加法產生從最高位 (MSB) 溢出的進位 —— 即答案需要額外位，就發生了溢出。
4 位: 9 + 7
進位: 1
1001 (9)
+ 0111 (7)
──────
1 0000 (16 —— 需要 5 位 → 溢出！)2
3
4
5
6
有符號（二的補碼）加法規則
溢出發生在兩個操作數同號但結果異號時。
+5 + +6 用 4 位有符號二的補碼
0101 (+5)
+ 0110 (+6)
──────
1011 (4 位二的補碼下為 -5！)2
3
4
5
兩個操作數都正但結果被解讀為負 → 溢出。
（關於有符號表示的細節見下一節。）
n 位儲存的最小最大值
課程指引明確提到 n 位寄存器能容納的最小與最大數字。
| 位數 | 無符號最小 | 無符號最大 | 有符號最小（二補） | 有符號最大（二補） |
|---|---|---|---|---|
| 4 | 0 | 15 | −8 | +7 |
| 8 | 0 | 255 | −128 | +127 |
| 16 | 0 | 65,535 | −32,768 | +32,767 |
要會推導**最多 16 位（2 位元組）**的情況，課程指引明確點出。
實例
例 A · 8 位無符號 200 + 100
200₁₀ = 1100 1000，100₁₀ = 0110 0100。
1100 1000
+ 0110 0100
-----------
1 0010 1100 ← 9 位 → 溢出（8 位最大為 255）2
3
4
8 位截斷後結果是 00101100 = 44 —— 不是真正的 300。忽略溢出的程序會默默給出 44。
例 B · 4 位有符號 +5 + +6
兩數都能塞進 4 位，但和 11 超過有符號最大 +7。溢出。
例 C · 4 位有符號 −5 + −4
−5 = 1011，−4 = 1100。和 = 1 0111。4 位截斷後是 0111 = +7。兩個輸入都負但結果為正 → 溢出。
練習活動
用 4 位二進制算並標記溢出：
0110 + 01011101 + 0011（無符號）0111 + 0001（有符號）1100 − 00111000 + 1000（有符號）
答案
1011（無溢出）10000→0000+ 進位，無符號溢出1000，有符號 → 溢出（正 + 正 = 負）1001（無溢出）10000→0000，有符號 → 溢出（負 + 負 = 零，符號變了）
溢出的現實影響
- 《文明》遊戲的 Gandhi 核彈 bug —— 他的好戰度從 1 下溢到 255。
- YouTube 瀏覽計數 —— 在 2,147,483,647（有符號 32 位最大）卡住。
- 波音 787 發電機 —— 因 32 位有符號溢出，不能持續供電超過 248 天。
- 網絡安全 —— 許多漏洞（緩衝區溢出攻擊）從算術溢出開始。
學生常見錯誤
- 混淆進位輸出（無符號溢出）與符號改變（有符號溢出）。
- 忘了只要結果裝不下所選寬度，就算數學正確也會溢出。
- 不同位寬相加時沒補齊到統一寬度。
考試式題目
題（4 分）： 做以下 8 位無符號二進制加法，説明是否溢出。 (a)
1010 1101 + 0001 0011(b)1111 1000 + 0000 1000
參考答案：
(a) 1010 1101 + 0001 0011 = 1100 0000。無 MSB 進位 → 無溢出。
(b) 1111 1000 + 0000 1000 = 1 0000 0000。從 MSB 進位 → 溢出（正確結果 256 裝不進 8 位）。
關鍵要點
- 二進制加法用與十進制相同的逐列進位思路。
- 溢出 = 結果裝不下所分配的位。
- 無符號溢出 ⇒ MSB 有進位。
- 有符號溢出 ⇒ 兩操作數同號、結果反號。
- n 位無符號最大值為
2ⁿ − 1。
➡️ 下一節：3.4 二的補碼