3.2 · 數制

目標： 在十進制、二進制、十六進制之間自如雙向換算，並能完整展示過程。

課程涉及的三種數制

數制	基	使用數字
十進制 Denary (decimal)	10	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
二進制 Binary	2	0 1
十六進制 Hexadecimal (hex)	16	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

會要求你在任何兩種之間、雙向換算。

位值，通用思想

任何數制都有以基數冪為單位的位值。

十進制（基 10）

位	1000	100	10	1
冪	10³	10²	10¹	10⁰
數字	2	3	7	4

2 × 1000 + 3 × 100 + 7 × 10 + 4 × 1 = 2374

二進制（基 2）

位	128	64	32	16	8	4	2	1
冪	2⁷	2⁶	2⁵	2⁴	2³	2²	2¹	2⁰
數字	1	0	1	1	0	1	0	1

128 + 32 + 16 + 4 + 1 = 181₁₀

十六進制（基 16）

位	4096	256	16	1
冪	16³	16²	16¹	16⁰
數字	0	2	A	7

2 × 256 + 10 × 16 + 7 × 1 = 679₁₀

速查表（0–15）

這張表你必須完全背下來。

十進制	二進制（4 位）	十六進制
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F

十進制 → 二進制

方法 1 · 連續除 2

反覆除 2，餘數自底向上讀。

轉換 45₁₀：

45 ÷ 2 = 22  餘 1
22 ÷ 2 = 11  餘 0
11 ÷ 2 = 5   餘 1
 5 ÷ 2 = 2   餘 1
 2 ÷ 2 = 1   餘 0
 1 ÷ 2 = 0   餘 1   ← 頂

自底向上讀 → 101101₂。

方法 2 · 減最大的 2 的冪

2 的冪	用？	餘
32	✓	45 − 32 = 13
16	✗	13
8	✓	13 − 8 = 5
4	✓	5 − 4 = 1
2	✗	1
1	✓	1 − 1 = 0

結果：101101₂。

二進制 → 十進制

把每位乘以位值再相加。

11010110₂ → 128 + 64 + 16 + 4 + 2 = 214₁₀。

技巧：相加前把位值寫在每位上方。

十進制 → 十六進制

方法 1 · 連續除 16

轉換 2750₁₀：

2750 ÷ 16 = 171 餘 14 (E)
 171 ÷ 16 = 10  餘 11 (B)
  10 ÷ 16 = 0   餘 10 (A)   ← 頂

自底向上讀 → ABE₁₆。

方法 2 · 經二進制

先轉二進制，然後每 4 位一組（從右到左）。

2750₁₀ = 1010 1011 1110₂ → A B E → ABE₁₆。

十六進制 → 十進制

把每位乘以位值再相加。

3F₁₆ = 3 × 16 + 15 × 1 = 63₁₀

二進制 ↔ 十六進制（捷徑）

這種轉換最快，因為 1 位十六 = 4 位二進。

二進制 : 1101 1010 0011 1111
            D    A    3    F
十六   :       D A 3 F

記熟 0–15 表後，兩個方向都是秒級。

轉十六前先把二進制每 4 位分組

從右開始分組：11010100110₂ → 0110 1010 0110（前補 0）。
然後讀：6 A 6 → 6A6₁₆。

常見換算練習

十進制	二進制	十六
13	1101	D
25	11001	19
100	1100100	64
255	11111111	FF
256	100000000	100
1024	10000000000	400
65535	1111111111111111	FFFF

記 255 = 0xFF 和 65535 = 0xFFFF 能省考試時間。

我需要多少位？

對無符號整數 N，所需位數是 ⌈log₂(N+1)⌉。

範圍	需要位數
0–1	1
0–3	2
0–7	3
0–15	4
0–255	8
0–1023	10
0–65535	16

n 位能表示 2ⁿ 個不同值。任意小 n 都應該能推得出來。

為什麼要有十六進制？

電腦是二進制的。為什麼還要十六？

緊湊 —— 1 位十六代替 4 位二進。
可讀 —— RGB 顏色 #FF8800 比 11111111 10001000 00000000 清楚得多。
易位映射 —— 每位十六整齊對應 4 位二進。
地址標準 —— MAC 地址、IPv6、記憶體轉儲都用十六。

學生常見錯誤

把除法餘數從頂往下讀（應自底向上）。
忘了十六 A–F 映射 10–15（寫 A = 11 是常見滑筆）。
二進制分 4 位組時漏前導零 —— 先補足。
混淆基與位數。

練習活動

不用計算器換算：

87₁₀ → 二進制、十六
0xC8 → 十進制、二進制
10110101₂ → 十進制、十六
0xBEEF → 二進制
255₁₀ + 1 → 二進制、十六

答案

1010111₂、57₁₆
200₁₀、11001000₂
181₁₀、B5₁₆
1011 1110 1110 1111₂
100000000₂、100₁₆

考試式題目

題（4 分）： (a) 把 2024₁₀ 換為二進制，寫出全部過程。(b) 把 (a) 的答案換為十六進制。

參考答案：

(a) 連續除 2：

2024 ÷ 2 = 1012 餘 0
1012 ÷ 2 =  506 餘 0
 506 ÷ 2 =  253 餘 0
 253 ÷ 2 =  126 餘 1
 126 ÷ 2 =   63 餘 0
  63 ÷ 2 =   31 餘 1
  31 ÷ 2 =   15 餘 1
  15 ÷ 2 =    7 餘 1
   7 ÷ 2 =    3 餘 1
   3 ÷ 2 =    1 餘 1
   1 ÷ 2 =    0 餘 1

2024₁₀ = 11111101000₂

(b) 從右每 4 位一組（前補 0）：

0111 1110 1000 → 7 E 8 → 2024₁₀ = 7E8₁₆

關鍵要點

三種基：10、2、16。
掌握十進制 → 二進制的兩種方法（連續除 + 減冪）。
1 位十六 = 4 位二進是最快捷徑。
把 0–15 在三種基下背熟。

➡️ 下一節：3.3 二進制運算與溢出

3.2 · 數制 ​

課程涉及的三種數制 ​

位值，通用思想 ​

十進制（基 10） ​

二進制（基 2） ​

十六進制（基 16） ​

速查表（0–15） ​

十進制 → 二進制 ​

方法 1 · 連續除 2 ​

方法 2 · 減最大的 2 的冪 ​

二進制 → 十進制 ​

十進制 → 十六進制 ​

方法 1 · 連續除 16 ​

方法 2 · 經二進制 ​

十六進制 → 十進制 ​

二進制 ↔ 十六進制（捷徑） ​

常見換算練習 ​

我需要多少位？ ​

為什麼要有十六進制？ ​

學生常見錯誤 ​

練習活動 ​

考試式題目 ​

關鍵要點 ​