3.2 · 数制

目标： 在十进制、二进制、十六进制之间自如双向换算，并能完整展示过程。

课程涉及的三种数制

数制	基	使用数字
十进制 Denary (decimal)	10	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
二进制 Binary	2	0 1
十六进制 Hexadecimal (hex)	16	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

会要求你在任何两种之间、双向换算。

位值，通用思想

任何数制都有以基数幂为单位的位值。

十进制（基 10）

位	1000	100	10	1
幂	10³	10²	10¹	10⁰
数字	2	3	7	4

2 × 1000 + 3 × 100 + 7 × 10 + 4 × 1 = 2374

二进制（基 2）

位	128	64	32	16	8	4	2	1
幂	2⁷	2⁶	2⁵	2⁴	2³	2²	2¹	2⁰
数字	1	0	1	1	0	1	0	1

128 + 32 + 16 + 4 + 1 = 181₁₀

十六进制（基 16）

位	4096	256	16	1
幂	16³	16²	16¹	16⁰
数字	0	2	A	7

2 × 256 + 10 × 16 + 7 × 1 = 679₁₀

速查表（0–15）

这张表你必须完全背下来。

十进制	二进制（4 位）	十六进制
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F

十进制 → 二进制

方法 1 · 连续除 2

反复除 2，余数自底向上读。

转换 45₁₀：

45 ÷ 2 = 22  余 1
22 ÷ 2 = 11  余 0
11 ÷ 2 = 5   余 1
 5 ÷ 2 = 2   余 1
 2 ÷ 2 = 1   余 0
 1 ÷ 2 = 0   余 1   ← 顶

自底向上读 → 101101₂。

方法 2 · 减最大的 2 的幂

2 的幂	用？	余
32	✓	45 − 32 = 13
16	✗	13
8	✓	13 − 8 = 5
4	✓	5 − 4 = 1
2	✗	1
1	✓	1 − 1 = 0

结果：101101₂。

二进制 → 十进制

把每位乘以位值再相加。

11010110₂ → 128 + 64 + 16 + 4 + 2 = 214₁₀。

技巧：相加前把位值写在每位上方。

十进制 → 十六进制

方法 1 · 连续除 16

转换 2750₁₀：

2750 ÷ 16 = 171 余 14 (E)
 171 ÷ 16 = 10  余 11 (B)
  10 ÷ 16 = 0   余 10 (A)   ← 顶

自底向上读 → ABE₁₆。

方法 2 · 经二进制

先转二进制，然后每 4 位一组（从右到左）。

2750₁₀ = 1010 1011 1110₂ → A B E → ABE₁₆。

十六进制 → 十进制

把每位乘以位值再相加。

3F₁₆ = 3 × 16 + 15 × 1 = 63₁₀

二进制 ↔ 十六进制（捷径）

这种转换最快，因为 1 位十六 = 4 位二进。

二进制 : 1101 1010 0011 1111
            D    A    3    F
十六   :       D A 3 F

记熟 0–15 表后，两个方向都是秒级。

转十六前先把二进制每 4 位分组

从右开始分组：11010100110₂ → 0110 1010 0110（前补 0）。
然后读：6 A 6 → 6A6₁₆。

常见换算练习

十进制	二进制	十六
13	1101	D
25	11001	19
100	1100100	64
255	11111111	FF
256	100000000	100
1024	10000000000	400
65535	1111111111111111	FFFF

记 255 = 0xFF 和 65535 = 0xFFFF 能省考试时间。

我需要多少位？

对无符号整数 N，所需位数是 ⌈log₂(N+1)⌉。

范围	需要位数
0–1	1
0–3	2
0–7	3
0–15	4
0–255	8
0–1023	10
0–65535	16

n 位能表示 2ⁿ 个不同值。任意小 n 都应该能推得出来。

为什么要有十六进制？

电脑是二进制的。为什么还要十六？

紧凑 —— 1 位十六代替 4 位二进。
可读 —— RGB 颜色 #FF8800 比 11111111 10001000 00000000 清楚得多。
易位映射 —— 每位十六整齐对应 4 位二进。
地址标准 —— MAC 地址、IPv6、内存转储都用十六。

学生常见错误

把除法余数从顶往下读（应自底向上）。
忘了十六 A–F 映射 10–15（写 A = 11 是常见滑笔）。
二进制分 4 位组时漏前导零 —— 先补足。
混淆基与位数。

练习活动

不用计算器换算：

87₁₀ → 二进制、十六
0xC8 → 十进制、二进制
10110101₂ → 十进制、十六
0xBEEF → 二进制
255₁₀ + 1 → 二进制、十六

答案

1010111₂、57₁₆
200₁₀、11001000₂
181₁₀、B5₁₆
1011 1110 1110 1111₂
100000000₂、100₁₆

考试式题目

题（4 分）： (a) 把 2024₁₀ 换为二进制，写出全部过程。(b) 把 (a) 的答案换为十六进制。

参考答案：

(a) 连续除 2：

2024 ÷ 2 = 1012 余 0
1012 ÷ 2 =  506 余 0
 506 ÷ 2 =  253 余 0
 253 ÷ 2 =  126 余 1
 126 ÷ 2 =   63 余 0
  63 ÷ 2 =   31 余 1
  31 ÷ 2 =   15 余 1
  15 ÷ 2 =    7 余 1
   7 ÷ 2 =    3 余 1
   3 ÷ 2 =    1 余 1
   1 ÷ 2 =    0 余 1

2024₁₀ = 11111101000₂

(b) 从右每 4 位一组（前补 0）：

0111 1110 1000 → 7 E 8 → 2024₁₀ = 7E8₁₆

关键要点

三种基：10、2、16。
掌握十进制 → 二进制的两种方法（连续除 + 减幂）。
1 位十六 = 4 位二进是最快捷径。
把 0–15 在三种基下背熟。

➡️ 下一节：3.3 二进制运算与溢出

3.2 · 数制 ​

课程涉及的三种数制 ​

位值，通用思想 ​

十进制（基 10） ​

二进制（基 2） ​

十六进制（基 16） ​

速查表（0–15） ​

十进制 → 二进制 ​

方法 1 · 连续除 2 ​

方法 2 · 减最大的 2 的幂 ​

二进制 → 十进制 ​

十进制 → 十六进制 ​

方法 1 · 连续除 16 ​

方法 2 · 经二进制 ​

十六进制 → 十进制 ​

二进制 ↔ 十六进制（捷径） ​

常见换算练习 ​

我需要多少位？ ​

为什么要有十六进制？ ​

学生常见错误 ​

练习活动 ​

考试式题目 ​

关键要点 ​