3.4 · 二的补码

目标： 把任意整数转成 n 位二的补码形式，再转回去。

负数的问题

二进制只有 0 与 1 —— 没有 − 号。电脑怎么储存负整数？

历史上有三种方案：

方案	思想	缺点
Sign-magnitude 符号-绝对值	最左位作符号（0 = +，1 = −），其余是绝对值	有两个零（+0、−0）；减法尴尬
One's complement 一的补码	全部位反转表示负	仍有两个零；进位处理乱
Two's complement 二的补码	全部反转，再加 1	单一零；加减统一处理

现代电脑全部用二的补码表示有符号整数。HKEAA 明确要求你掌握。

怎么编码一个负整数

3 步配方

要在 n 位二的补码表示 −x：

1. 把 +x 写成 n 位二进制。
2. 每位反转（一的补码）。
3. 加 1。

例 · 8 位下的 −5

步骤	过程
1. 写 +5	0000 0101
2. 反转	1111 1010
3. 加 1	1111 1011

所以 −5 = 1111 1011₂ 在 8 位二的补码中。

例 · 8 位下的 −1

步骤	过程
1. 写 +1	0000 0001
2. 反转	1111 1110
3. 加 1	1111 1111

−1 就是全 1。（任何位数皆如此。）

例 · 8 位下的 −128

步骤	过程
1. 写 +128	1000 0000（已是负数解读，但位模式相同）
2. 反转	0111 1111
3. 加 1	1000 0000

位模式 1000 0000 在二的补码中表示 −128 —— 8 位有符号最小值。

怎么解码二的补码数字

如果 MSB 为 0 → 是正数；按普通二进制读。

如果 MSB 为 1 → 是负数。两种换算：

方法 1 · 套同样的配方（对称！）

1111 1011₂ → 反转 → 0000 0100 → +1 → 0000 0101 = 5 → 所以原值为 −5。

方法 2 · 用负的 MSB 位值

对 n 位二的补码，MSB 的位值是 −2ⁿ⁻¹ 而不是 +2ⁿ⁻¹。

8 位时：

位	−128	64	32	16	8	4	2	1
位元	1	1	1	1	1	0	1	1

值 = −128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = −5。✓

n 位二的补码范围

位数	范围
4	−8 到 +7
8	−128 到 +127
16	−32,768 到 +32,767
32	−2,147,483,648 到 +2,147,483,647

公式：n 位时，范围为 −2ⁿ⁻¹ 到 +2ⁿ⁻¹ − 1。

注意不对称：负值比正值多一个，因为 0 住在正的一侧（0000 0000）。

二的补码为何精彩

零只有一种表示

符号-绝对值有 +0 和 −0。二的补码只有 0000 0000 = 0。

减法即加法

A − B = A + (B 的二的补码)。

同一套电路加正数和负数 —— 不用单独减法器。

符号扩展自然成立

把 8 位有符号数复制到 16 位寄存器，只要把 MSB 复制到新增的上位即可：

8 位  −5 = 1111 1011
16 位 −5 = 1111 1111 1111 1011

实例

例 A · 4 位二的补码下算 7 − 3

+7 = 0111+3 = 0011，所以 −3 = 0011 → 1100 → 1101。

相加：0111 + 1101 = 1 0100。丢弃 MSB 进位 → 0100 = +4。✓

例 B · 8 位二的补码下算 5 − 9

+5 = 0000 0101−9 = 0000 1001 → 1111 0110 → 1111 0111

相加：0000 0101 + 1111 0111 = 1111 1100 = −4。✓

学生常见错误

• 忘了第 3 步（加 1） —— 这就是一的补码与二的补码的差别。
• 把 MSB = 1 当作永远是负 —— 仅在二的补码下成立；无符号二进制里 MSB 只是普通位。
• 范围不对称 bug：试图用 8 位有符号表示 +128（超界）。
• 混宽度 —— 比较 4 位有符号 1011 与 8 位有符号 1011 会得到不同值。

练习活动

在 8 位二的补码下求：

1. −1 的位模式。
2. −42 的位模式。
3. 1110 0000 的十进制值。
4. 1000 0000 的十进制值。
5. 可表示值的范围。

答案

1. 1111 1111
2. 1101 0110（+42 = 0010 1010 → 反转 1101 0101 → +1 → 1101 0110）
3. −32
4. −128
5. −128 到 +127

考试式题目

题（4 分）： 用 8 位二的补码把 −45₁₀ 表为二进制，写出过程。

参考答案：

步骤	过程
1. 写 +45 为 8 位二进制	0010 1101
2. 每位反转	1101 0010
3. 加 1	1101 0011

−45₁₀ = 1101 0011₂ 在 8 位二的补码中。

关键要点

• 二的补码 = 全部反转，再加 1。
• 二的补码数字的 MSB 位值是 −2ⁿ⁻¹。
• 零只有一种表示。
• 加减法共用硬件。
• 范围：−2ⁿ⁻¹ 到 +2ⁿ⁻¹ − 1。

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